निश्चित समाकलन int_{1}^{2}left(frac{1}{x}-fra | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात करना है।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उ

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$\frac{e^{4}-2e^{2}}{4}$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात करना है।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए:$I = \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.प्रथम पद के लिए $u = \frac{1}{x}$ और $dv = e^{2x} dx$ लेने पर:$du = -\frac{1}{x^2} dx$ और $v = \frac{e^{2x}}{2}$.अतः,$\int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2} \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2}$.$I = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2} = \frac{e^4 - 2e^2}{4}$.

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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